Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp – Nguyễn Quốc Bảo

Tài liệu gồm 523 trang, do thầy Nguyễn Quốc Bảo biên soạn, hệ thống hóa các dạng bài và phương pháp giải Toán thuộc chuyên đề Số học và Tổ hợp. Bộ tài liệu được sử dụng hiệu quả trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 – Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Phần I. Các chủ đề Số học THCS

Chủ đề 1. Các bài toán về ước và bội

1. Các dạng toán liên quan đến số ước của một số.
2. Tìm số nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện chia hết.
3. Tìm số khi biết ƯCLN của chúng.
4. Tìm số khi biết đồng thời BCNN và ƯCLN.
5. Các bài toán về các số nguyên tố cùng nhau.
6. Các bài toán về phân số tối giản.
7. Tìm ƯCLN của các biểu thức.
8. Mối liên hệ giữa phép chia có dư – chia hết – ƯCLN – BCNN.
9. Thuật toán Ơ-clit trong tìm ƯCLN hai số.

Chủ đề 2. Các bài toán về quan hệ chia hết

1. Tính chất: Trong $n$ số tự nhiên liên tiếp có đúng một số chia hết cho $n$n.
2. Phương pháp phân tích thành nhân tử.
3. Phương pháp tách tổng.
4. Vận dụng hằng đẳng thức.
5. Xét số dư.
6. Phản chứng.
7. Quy nạp toán học.
8. Nguyên lý Dirichlet.
9. Xét đồng dư.
10. Tìm điều kiện để biểu thức chia hết.
11. Bài toán cấu tạo số liên quan đến tính chia hết.
12. Chia hết và định lý Fermat.
13. Các bài toán chia hết liên quan đến đa thức.

Chủ đề 3. Số nguyên tố và hợp số

1. Chứng minh một số là nguyên tố hoặc hợp số.
2. Các bài toán về tính chất số nguyên tố.
3. Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước.
4. Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố.
5. Chứng minh có vô số nguyên tố dạng $ax+b$ với $(a;b)=1$.
6. Áp dụng nguyên lý Dirichlet.
7. Ứng dụng định lý Fermat.

Chủ đề 4. Các bài toán về số chính phương

1. Chứng minh một số là số chính phương hoặc là tổng nhiều số chính phương.
2. Chứng minh một số không phải số chính phương.
3. Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phương.
4. Tìm số chính phương.

Chủ đề 5. Ứng dụng đồng dư thức trong số học

1. Chứng minh chia hết bằng đồng dư.
2. Tìm số dư của biểu thức.
3. Tìm điều kiện của biến để biểu thức chia hết.
4. Tìm chữ số tận cùng.
5. Tìm hai chữ số tận cùng.
6. Số chính phương và đồng dư thức.
7. Đồng dư trong bài toán số nguyên tố – hợp số.
8. Đồng dư trong phương trình nghiệm nguyên.
9. Vận dụng các định lý số học.

Chủ đề 6. Phương trình nghiệm nguyên

1. Phát hiện tính chia hết của một ẩn.
2. Đưa về dạng phương trình ước số.
3. Tách ra các giá trị nguyên.
4. Dùng tính chẵn lẻ và số dư của mỗi vế.
5. Áp dụng bất đẳng thức.
6. Sử dụng tính chất số chính phương.
7. Phương pháp lùi vô hạn và nguyên tắc cực hạn.

Chủ đề 7. Phần nguyên trong số học

1. Tính phần nguyên của số hoặc biểu thức.
2. Chứng minh đẳng thức có chứa phần nguyên.
3. Giải phương trình phần nguyên.
4. Giải bất phương trình phần nguyên.
5. Ứng dụng phần nguyên trong bài toán số học.
6. Chứng minh bất đẳng thức chứa phần nguyên.

Chủ đề 8. Nguyên lý Dirichlet

1. Chứng minh sự tồn tại chia hết.
2. Bài toán về tính chất phần tử trong tập hợp.
3. Bài toán về bảng ô vuông.
4. Các bài toán thực tế.
5. Bài toán sắp xếp.
6. Vận dụng trong các bài toán hình học.

Chủ đề 9. Các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

Chủ đề 10. Nguyên lý bất biến trong giải toán

Phần II. Hướng dẫn giải – Đáp số

Phần này trình bày chi tiết lời giải, phương pháp tư duy và đáp số cho từng dạng bài, giúp học sinh nắm chắc kỹ thuật và rèn luyện khả năng vận dụng.