Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức

Trong chương trình môn Toán cấp Trung học Cơ sở, bài toán phương trình nghiệm nguyên là một chủ đề hay nhưng khó đối với học sinh, dạng toán này được bắt gặp khá thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 – lớp 9.

Để phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 và Toán lớp 9, thầy Tạ Văn Đức biên soạn tài liệu giới thiệu một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.

Khái quát nội dung tài liệu một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức:

Phương pháp 1. Áp dụng tính chia hết.

1. Phương trình dạng $ax + by = c$.
2. Đưa về phương trình ước số.

Phương pháp 2. Phương pháp lựa chọn Modulo (hay còn gọi là xét số dư từng vế).

1. Xét số dư hai vế.
2. Sử dụng số dư để chỉ ra phương trình vô nghiệm.

Phương pháp 3. Sử dụng bất đẳng thức.

1. Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp thứ tự các biến.
2. Áp dụng bất đẳng thức cổ điển.
3. Áp dụng tính đơn điệu của từng vế.
4. Dùng điều kiện $Delta ≥ 0$ (hoặc $Delta’ ≥ 0$) để phương trình bậc hai có nghiệm.

Phương pháp 4. Phương pháp chặn hay còn gọi là phương pháp đánh giá.

Chủ yếu dựa vào hai nhận xét sau:
+ Không tồn tại $n$ thuộc $Z$ thỏa mãn $a^2 < n^2 < (a + 1)^2$ với a là một số nguyên.
+ Nếu $a^2 < n^2 < (a + 2)^2$ (với $a$ và $n$ thuộc $Z$) thì $n = a + 1$.

Phương pháp 5. Sử dụng tính chất của số chính phương.

Một số tính chất thường được sử dụng:
+ Số chính phương không tận cùng bằng $2, 3, 7, 8$.
+ Số chính phương chia hết cho số nguyên tố $p$ thì chia hết cho $p^2$.
+ Số chính phương khi chia cho $3$, cho $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$.
+ Số chính phương chia cho $5$, cho $8$ thì số dư chỉ có thể là $0, 1$ hoặc $4$.
+ Số chính phương lẻ chia cho $4, 8$ thì số dư đều là $1$.
+ Lập phương của một số nguyên chia cho $9$ chỉ có thể dự $0, 1$ hoặc $8$.

Phương pháp 6. Phương pháp lùi vô hạn (hay còn gọi là phương pháp xuống thang).

Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình nào đó ngoài nghiệm tầm thường $x = y = z = 0$ thì không còn nghiệm nào khác.

Phương pháp 7. Nguyên tắc cực hạn (hay còn gọi là nguyên lí khởi đầu cực trị).

Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau, đều chứng minh phương trình ngoài nghiệm tầm thường không có nghiệm nào khác.

Phương pháp 8. Sử dụng mệnh đề cơ bản của số học.